A Origem da
Derivada está nos problemas geométricos Clássicos da Tangência, esse Problema
surgiu quando Pierre Fermat se dedicava ao estudo das funções a partir de seus
estudos ele percebeu a limitação do conceito clássico da reta Tangente como
sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim
importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma
tangente a um gráfico num dado ponto esta dificuldade ficou conhecida na História
da Matemática como o " Problema da Tangente". Fermat resolveu esta dificuldade de uma
maneira muito simples: para determinar uma tangente a uma curva num
ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a reta PQ
secante à curva. Seguidamente fez deslizar Q ao longo da curva em direcção
a P, obtendo deste modo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat
chamou a reta tangente à curva no ponto P.
Fermat notou que para certas funções,
nos pontos onde a curva assumia valores extremos, a tangente ao gráfico devia
ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor assumido pela função num
desses pontos P(x, f(x)) com o valor assumido no outro ponto Q(x+E, f(x+E))
próximo de P, a diferença entre f(x+E) e f(x) era muito pequena, quase nula,
quando comparada com o valor de E, diferença das abcissas de Q e P. Assim, o
problema de determinar extremos e de determinar tangentes a curvas passam a
estar intimamente relacionados.
Estas ideias constituiram o embrião do
conceito de derivada
e levou Laplace a considerar Fermat "o verdadeiro inventor do Cálculo
Diferencial".
No Início do Século 19 a definição
Moderna de Derivada foi dada por Augustin Louis Cauchy (1789-1857) afirmando
que a derivada é:
O limite de [f(x + i) - f(x)] / i
quando i se aproxima de 0. A forma da função que serve como o limite da razão
[f(x + i) - f(x)] / i dependerá da forma da função proposta y = f(x). Para
indicar sua dependência, dá-se à nova função o nome de função derivada.
Cauchy prosseguiu para encontrar
derivadas de todas as funções elementares e dar a regra da cadeia. De igual
importância, Cauchy mostrou que o Teorema do Valor Médio para derivadas, que
tinha aparecido no trabalho de Lagrange, era realmente a pedra fundamental para
provar vários teoremas básicos do cálculo que foram assumidos como verdadeiros,
isto é, descrições de funções crescentes e decrescentes. Derivadas e o cálculo
diferencial estão agora estabelecidos como uma parte rigorosa e moderna do
cálculo.
Referências:
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