Como surgiu a ideia de limite?

Zenão de Eleia

A ideia de limite surgiu por volta de 450 a.C. na discussão dos paradoxos de Zenão (argumentos utilizados para provar a inconsistência dos conceitos de multiplicidade, divisibilidade e movimento).

            Caso uma pessoa percorra uma distância finita entre dois pontos, ela tende a passar por infinitos pontos antes de completar o percurso. Por exemplo, para chegar ao fim de um percurso de 60 metros, a pessoa precisa passar por ½ do percurso, depois 2/3 do percurso, para assim chegar a 4/5 do percurso, depois 5/6 do percurso e depois 30/31 do percurso ao ponto correspondente a 199/200 e depois ao ponto 5647/5648 do percurso (que numericamente corresponderia a 59,989 metros).

Mas como o infinito significa algo que não tem limite, a pessoa nunca conseguiria chegar a um final do percurso, pois se este chegasse ao fim depois de percorrer o infinito, significaria que o infinito tem um fim, o que não é possível, gerando o primeiro paradoxo de Zenão – a Dicotomia.

Pierre de Fermat

            Cálculo é também algumas vezes descrito como o estudo de curvas, superfícies e sólidos. Fermat desenvolveu um método algébrico para encontrar os pontos de máximo ou de mínimo de determinadas curvas. Ele descreveu a curva por uma equação, chamou de ‘E’ um número e fez alguns cálculos algébricos, em seguida considerando E=0 de modo que desaparecessem os termos nos quais ‘E’ aparecia. Basicamente, Fermat colocou o limite de lado ao argumentar que ‘E’ é “infinitamente pequeno”. Geometricamente, o que ele queria mostrar é que nos pontos mais altos e mais baixos da curva, as retas tangentes são horizontais, ou seja, tem inclinação zero. 

            Encontrar a reta tangente é um dos problemas fundamentais do Cálculo. Durante o século VII, foram desenvolvidos por geômetras, tais como Descartes, Hudde e Sluse, diversos esquemas algébricos a fim de determinar as retas tangentes a determinadas curvas. É provável que tenham utilizado limite em alguma etapa de seus métodos, entretanto não viram a necessidade de definir o conceito de limite.

            Isaac Newton foi o primeiro a reconhecer a necessidade do limite. Em Principia Mathematica (1687), ele tentou formular o conceito de limite. Newton havia descoberto o papel fundamental que o limite teria no desenvolvimento da lógica do Cálculo, entretanto, por muitas décadas, suas sugestões não foram examinadas.

Jean le Rond d'Alembert

            Na época, D’Alembert foi o único cientista que reconheceu a importância do limite. Em Encyclopédie, afirmou que o conceito de derivada requer a compreensão prévia de limite, definido como “um valor é dito ser o limite de um outro valor quando o segundo pode se aproximar do primeiro dentro de algum valor dado, de qualquer modo pequeno, embora o segundo nunca possa exceder o valor ao qual se aproxima”. 

           No século XVIII, Lagrange concentrou sua atenção nos problemas da fundamentação do Cálculo, os quais ele resolveu desligando-o de "qualquer consideração do infinitamente pequeno ou quantidades imperceptíveis, de limites ou de flúxions". Entretanto, enquanto Cauchy procurava por uma exposição clara e correta sobre Cálculo para suas aulas em Paris, encontrou erros no que foi apresentado por Lagrange e a partir daí começou seu curso com uma definição moderna de limite, a qual utilizou como base para introdução da derivada, integral e o resto do Cálculo.

            Cauchy perdeu alguns detalhes técnicos, principalmente na aplicação de sua definição de limite a funções contínuas. No século XIX, Karl Weierstrass determinou que a primeira etapa para conseguir corrigir estes erros era reestabelecer a definição de limite de Cauchy em termos aritméticos, usando apenas valores absolutos e desigualdades, ideia que foi usada por Thomas em seu livro de Cálculo.

             Como é possível perceber, a ideia de limite surgiu, de forma indireta, há muitos anos e foi sendo aprimorada, assim como o Cálculo, com o passar dos anos até chegar a definição que nos é apresentada pelos livros didáticos hoje.

Curiosidade:

             Devido à preocupação sobre a falta de fundamento rigoroso para o cálculo, em 1874, a Academia de Ciências de Berlim ofereceu um prêmio para um prêmio para um ensaio que explicasse corretamente uma teoria do infinitamente pequeno e do infinitamente grande em matemática. O vencedor foi Simon L'Huillier, entretanto, seu trabalho é considerado longo e tedioso e não uma solução para os problemas propostos.

Referências:

http://meusite.mackenzie.com.br/giselahgomes/arquivos/historia_calculo.pdf
http://www.universoracionalista.org/o-paradoxo-de-zenao/
http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_limites.htm