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| Zenão de Eleia |
A
ideia de limite surgiu por volta de 450 a.C. na discussão dos paradoxos de
Zenão (argumentos utilizados para provar a inconsistência dos conceitos de multiplicidade,
divisibilidade e movimento).
Caso uma pessoa percorra uma
distância finita entre dois pontos, ela tende a passar por infinitos pontos antes
de completar o percurso. Por exemplo, para chegar ao fim de um percurso de 60
metros, a pessoa precisa passar por ½ do percurso, depois 2/3 do percurso, para
assim chegar a 4/5 do percurso, depois 5/6 do percurso
e depois 30/31 do percurso ao ponto correspondente a 199/200 e depois ao ponto
5647/5648 do percurso (que numericamente corresponderia a 59,989 metros).
Mas
como o infinito significa algo que não tem limite, a pessoa nunca conseguiria
chegar a um final do percurso, pois se este chegasse ao fim depois de percorrer
o infinito, significaria que o infinito tem um fim, o que não é possível, gerando
o primeiro paradoxo de Zenão – a Dicotomia.
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| Pierre de Fermat |
Cálculo
é também algumas vezes descrito como o estudo de curvas, superfícies e sólidos. Fermat desenvolveu um método algébrico
para encontrar os pontos de máximo ou de mínimo de determinadas curvas. Ele
descreveu a curva por uma equação, chamou de ‘E’ um número e fez alguns cálculos
algébricos, em seguida considerando E=0 de modo que desaparecessem os termos nos
quais ‘E’ aparecia. Basicamente, Fermat colocou o limite de lado ao argumentar
que ‘E’ é “infinitamente pequeno”. Geometricamente, o que ele queria mostrar é
que nos pontos mais altos e mais baixos da curva, as retas tangentes são
horizontais, ou seja, tem inclinação zero.
Encontrar
a reta tangente é um dos problemas fundamentais do Cálculo. Durante o século
VII, foram desenvolvidos por geômetras, tais como Descartes, Hudde e Sluse, diversos
esquemas algébricos a fim de determinar as retas tangentes a determinadas
curvas. É provável que tenham utilizado limite em alguma etapa de seus métodos,
entretanto não viram a necessidade de definir o conceito de limite.
Isaac
Newton foi o primeiro a reconhecer a necessidade do limite. Em Principia Mathematica (1687), ele tentou
formular o conceito de limite. Newton havia descoberto o papel fundamental que
o limite teria no desenvolvimento da lógica do Cálculo, entretanto, por muitas
décadas, suas sugestões não foram examinadas.
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| Jean le Rond d'Alembert |
Na época, D’Alembert foi o único cientista
que reconheceu a importância do limite. Em Encyclopédie,
afirmou que o conceito de derivada requer a compreensão prévia de limite,
definido como “um valor é dito ser o limite de um outro valor quando o segundo
pode se aproximar do primeiro dentro de algum valor dado, de qualquer modo
pequeno, embora o segundo nunca possa exceder o valor ao qual se aproxima”.
No
século XVIII, Lagrange concentrou sua atenção nos problemas da fundamentação do
Cálculo, os quais ele resolveu desligando-o de "qualquer
consideração do infinitamente pequeno ou quantidades imperceptíveis, de limites
ou de flúxions". Entretanto, enquanto Cauchy procurava por uma exposição clara
e correta sobre Cálculo para suas aulas em Paris, encontrou erros no que foi
apresentado por Lagrange e a partir daí começou seu curso com uma definição
moderna de limite, a qual utilizou como base para introdução da derivada,
integral e o resto do Cálculo.
Cauchy perdeu alguns detalhes
técnicos, principalmente na aplicação de sua definição de limite a funções
contínuas. No século XIX, Karl Weierstrass
determinou que a primeira etapa para conseguir corrigir estes erros era
reestabelecer a definição de limite de Cauchy em termos aritméticos, usando
apenas valores absolutos e desigualdades, ideia que foi usada por Thomas em seu livro de Cálculo.
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