Fica difícil lembrar as regras de Derivação? Aqui vai uma Paródia para facilitar seus estudos, criada pela Graduandas em Matemática-Licenciatura da UFPE CAA, Jamyle Pereira e Jéssika Pereira.
domingo, 3 de julho de 2016
Derivada
Dizemos
que Derivada é a taxa de variação de uma função y = f(x) em relação à x, dada
pela relação ∆x / ∆y. Considerando uma função y = f(x), a sua derivada no ponto
x = x0 corresponde à tangente do ângulo formado pela intersecção entre a reta e
a curva da função y = f(x), isto é, o coeficiente angular da reta tangente à
curva. De acordo com a relação ∆x / ∆y,
temos que:
Partindo da ideia de existência do limite, temos que a taxa de variação instantânea de uma função y = f(x)
em relação a x é dada pela expressão dy / dx.
Algumas
Regras de Derivação:
sexta-feira, 1 de julho de 2016
O Ensino do Cálculo numa perspectiva histórica: Da régua de calcular ao MOODLE
Neste artigo, os autores apresentam um resgate do ensino de Cálculo no Brasil e algumas considerações a respeito dos recursos utilizados para
suportar o ensino de Cálculo.
Autores: Terezinha Ione Martins Torres
Lucia Maria Martins Giraffa
Resumo: Este artigo apresenta uma perspectiva histórica do ensino de Cálculo, considerando
aspectos conceituais e tipo de instrumento utilizado para suportar as atividades pedagógicas. O
Cálculo se constitui em um dos temas de estudo, no ensino superior, que possui maior índice de
reprovação e evasão por parte dos alunos dos cursos superiores, especialmente nas áreas de
Ciências Exatas e Engenharia. O texto apresenta um resgate do ensino de Cálculo no Brasil e ao
final apresentam-se algumas considerações a respeito dos artefatos e recursos utilizados para
suportar o ensino de Cálculo. Neste sentido apontam-se algumas questões importantes que
emergem pela criação do ciberespaço como alternativa de ensino nos dias de hoje.
Palavras-chave: História do Cálculo. Educação Matemática. Metodologias de ensino da
Matemática.
Entendendo e Resolvendo Integral
Aqui vai alguns arquivos que ajudará você a entender um pouco mais sobre Integral!
quinta-feira, 30 de junho de 2016
Um pouco sobre a história da Integral
Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura. Resolver um problema de quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos uma curva.
Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão.
Nesse contexto, uma das questões mais importantes, e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola. Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base.
Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o método da exaustão, a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Este é o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi resolvido.
A contribuição seguinte para o Cálculo Integral apareceu somente ao final do século XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade. Em 1606, em Roma, Luca Valerio publicou "De quadratura parabolae" onde utilizou o mesmo método grego para resolver problemas de cálculo de áreas desse tipo.
Kepler, em seu trabalho sobre o movimento dos planetas, teve que encontrar as áreas de vários setores de uma região elíptica. O método de Kepler consistia em pensar na superfície como a soma de linhas - método este que, na prática, apresentava muita imprecisão. Analogamente, para calcular volumes de sólidos, pensava na soma de fatias planas. Desse modo, calculou os volumes de muitos sólidos formados pela revolução de uma região bidimensional ao redor de um eixo. Para o cálculo de cada um desses volumes, Kepler subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma desses infinitésimos se aproximava do volume desejado.
Os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento do Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Todo o processo geométrico desenvolvido por Cavalieri foi então aritmetizado por Wallis. Em 1655, em seu trabalho Arithmetica infinitorum, Wallis desenvolveu princípios de indução e interpolação que o levaram a encontrar diversos resultados importantes, entre eles, a antecipação de parte do trabalho de Euler dobre a função gamma.
O problema do movimento estava sendo estudado desde a época de Galileu. Tanto Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento com velocidades variadas. A derivada da distância era a velocidade e a operação inversa, partindo da velocidade, levava à distância. A partir desse problema envolvendo movimento, a ideia de operação inversa da derivada desenvolveu-se naturalmente e a ideia de que a integral e a derivada eram processos inversos era familiar a Barrow. Embora Barrow nunca tenha enunciado formalmente o Teorema Fundamental do Cálculo, estava trabalhando em direção a esse resultado; foi Newton, entretanto, quem, continuando na mesma direção, formulou o teorema.
Newton continuou os trabalhos de Barrow e Galileo sobre o estudo do movimento dos corpos e desenvolveu o Cálculo aproximadamente dez anos antes de Leibniz. Ele desenvolveu os métodos das fluxions - derivação - e fluentes - integração - e utilizou-os na construção da mecânica clássica. Para Newton, a integração consistia em achar fluentes para um dado fluxion considerando, desta maneira, a integração como inversa da derivação. Com efeito, Newton sabia que a derivada da velocidade, por exemplo, era a aceleração e a integral da aceleração era a velocidade.
Principalmente como consequência do Teorema Fundamental do Cálculo de Newton, as integrais foram simplesmente vistas como derivadas "reversas". Na mesma época da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu processos sistemáticos para integrar todas as funções racionais, que é chamado método das frações parciais. Essas ideias foram resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais.
A maior parte do desenvolvimento da teoria de integração foi subsequentemente verificada por Riemann e outros, mas ainda havia dificuldades com integrais de séries infinitas que não foram trabalhadas até o início do século 20.
terça-feira, 28 de junho de 2016
Reflexões Sobre o Ensino do Cálculo
Nesse artigo encontramos uma breve reflexão sobre ensino do cálculo, mostrando o histórico do ensino da matéria e alguns problemas nele existente.
Autores: Maria Helena Campos Soares de Mello
João Carlos Correia Baptista Soares de Mello
Resumo: Este artigo apresenta algumas reflexões sobre a necessidade do Cálculo
Diferencial e Integral nos cursos de Engenharia. Apresenta-se um breve histórico do ensino
desta matéria e apontam-se certos problemas nele existentes.
Palavras-chave: Cálculo, Evolução histórica
Como Surgiu a Idéia de Derivada?
A Origem da
Derivada está nos problemas geométricos Clássicos da Tangência, esse Problema
surgiu quando Pierre Fermat se dedicava ao estudo das funções a partir de seus
estudos ele percebeu a limitação do conceito clássico da reta Tangente como
sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim
importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma
tangente a um gráfico num dado ponto esta dificuldade ficou conhecida na História
da Matemática como o " Problema da Tangente". Fermat resolveu esta dificuldade de uma
maneira muito simples: para determinar uma tangente a uma curva num
ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a reta PQ
secante à curva. Seguidamente fez deslizar Q ao longo da curva em direcção
a P, obtendo deste modo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat
chamou a reta tangente à curva no ponto P.
Fermat notou que para certas funções,
nos pontos onde a curva assumia valores extremos, a tangente ao gráfico devia
ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor assumido pela função num
desses pontos P(x, f(x)) com o valor assumido no outro ponto Q(x+E, f(x+E))
próximo de P, a diferença entre f(x+E) e f(x) era muito pequena, quase nula,
quando comparada com o valor de E, diferença das abcissas de Q e P. Assim, o
problema de determinar extremos e de determinar tangentes a curvas passam a
estar intimamente relacionados.
Estas ideias constituiram o embrião do
conceito de derivada
e levou Laplace a considerar Fermat "o verdadeiro inventor do Cálculo
Diferencial".
No Início do Século 19 a definição
Moderna de Derivada foi dada por Augustin Louis Cauchy (1789-1857) afirmando
que a derivada é:
O limite de [f(x + i) - f(x)] / i
quando i se aproxima de 0. A forma da função que serve como o limite da razão
[f(x + i) - f(x)] / i dependerá da forma da função proposta y = f(x). Para
indicar sua dependência, dá-se à nova função o nome de função derivada.
Cauchy prosseguiu para encontrar
derivadas de todas as funções elementares e dar a regra da cadeia. De igual
importância, Cauchy mostrou que o Teorema do Valor Médio para derivadas, que
tinha aparecido no trabalho de Lagrange, era realmente a pedra fundamental para
provar vários teoremas básicos do cálculo que foram assumidos como verdadeiros,
isto é, descrições de funções crescentes e decrescentes. Derivadas e o cálculo
diferencial estão agora estabelecidos como uma parte rigorosa e moderna do
cálculo.
Referências:
quinta-feira, 19 de maio de 2016
E se?
Além da disciplina, um pouco de curiosidade
 |
| Randall Munroe |
Um convite bem divertido pra quem gosta do universo curioso dos números, especificamente unindo cálculos numéricos, astronomia, física e outras ciências de um modo realmente inteligente que quase sempre resulta em sacadas bastante engraçadas.
O livro "E se?" foi escrito pelo físico Randall Munroe e seus leitores, que ao enviar perguntas absurdas para serem respondidas com rigor científico obtiveram respostas bem fundamentadas e curiosas do autor. Para encontrar as respostas claras e humoradas, Munroe cria complexas simulações computadorizadas, resolve equações diferenciais e consulta operadores de usinas nucleares. Em geral, elas terminam com a aniquilação da humanidade ou, pelo menos, numa grande explosão.
O livro pode ser encontrado em sites de compra online por um preço razoável em:
- Na Saraiva por R$34,90 pelo link:
- No Submarino por R$31,49 através do link:
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Boa Leitura!
quarta-feira, 11 de maio de 2016
O que é o Limite?
Na matemática, o limite tem o objetivo de determinar o comportamento de uma função à medida que ela se aproxima de alguns valores, sempre relacionando os pontos x e y. Dizemos que uma função f(x) tem um limite A quando x → a (→: tende), isto é,
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Teoremas:
1 – O limite da soma de duas ou mais funções de mesma variável deve ser
igual à soma dos seus limites.
2 – O limite do produto de duas ou mais funções de mesma variável deve ser
igual a multiplicação de seus limites.
3 – O limite do quociente de duas ou mais funções de mesma variável deve ser
igual à divisão de seus limites, ressaltando que o limite do divisor seja
diferente de zero.
4 – O limite da raiz positiva de uma função é igual à mesma raiz do limite da
função, lembrando que esta raiz precisa ser real.
Determinando
o limite de uma função:
Teoremas:
1 – O limite da soma de duas ou mais funções de mesma variável deve ser
igual à soma dos seus limites.
2 – O limite do produto de duas ou mais funções de mesma variável deve ser
igual a multiplicação de seus limites.
3 – O limite do quociente de duas ou mais funções de mesma variável deve ser
igual à divisão de seus limites, ressaltando que o limite do divisor seja
diferente de zero.
4 – O limite da raiz positiva de uma função é igual à mesma raiz do limite da
função, lembrando que esta raiz precisa ser real.
Determinando
o limite de uma função:
Referências:
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